1 bis 9 und die 0: Zahlen bilden die Grundlage der Mathematik. Dank ihnen können wir die Welt besser verstehen, Maschinen bauen oder unsere Einkäufe erledigen. 🌍
Je nachdem, wofür wir sie benutzen, können wir Zahlen in Kategorien, bzw. in verschiedene Zahlenmengen einteilen: Natürliche Zahlen, Ganze Zahlen, Rationale Zahlen, Irrationale Zahlen, Reelle Zahlen, Komplexe Zahlen und andere Teilmengen wie zum Beispiel die Primzahlen. In unserem Artikel erklären wir dir die Eigenschaften dieser Zahlenmengen und wie sie sich unterschieden. Viel Spaß beim Lernen! 😀
Kapitel:
Was ist eine Zahlenmenge?
Mit Zahlenmengen teilen wir alle uns bekannten Zahlen je nach ihren Eigenschaften in Gruppen ein. Die Elemente einer Gruppe besitzen also bestimmte Merkmale. 💡
Zahlenmengen bauen aufeinander auf, beginnend bei der kleinsten Menge, den natürlichen Zahlen, bis hin zu den komplexen Zahlen. Danach geht es auch noch weiter, doch das ist komplizierte Mathematik, die man in der Schule nicht genau kennen muss.
Im Laufe der Geschichte der Mathematik wurden die Zahlbereiche erweitert, um weitere Rechnungen durchführen zu können. Die wichtigsten Zahlenmengen stellen wir dir hier im Artikel einmal genauer vor. ⬇️
Übersicht aller wichtigen Zahlenmengen in Mathe
Natürliche Zahlen: Zahlenmenge N
Die kleinste wichtige Zahlenmenge ist die der natürlichen Zahlen. Dargestellt wird sie von einem ℕ mit doppeltem Strich in der Mitte. Ihre Elemente umfassen Zahlen, wie sie in der Natur und in unserem Alltag vorkommen, die wir also abzählen können. Wir beschreiben sie mit den Ziffern von 1 bis 9 und der 0. 🍏 Du kannst im Supermarkt 5 Äpfel kaufen und 10 Orangen oder im Garten 7 Vögel zählen - das sind alles natürliche Zahlen.
Die Reihe der natürlichen Zahlen beginnt bei der 1 und lässt sich unendlich fortführen. ♾️ Denn jede der Zahlen hat einen Nachfolger, den man durch die Addition +1 erreicht: 111, 112, 113, 114, und so weiter.
Doch was ist mit der Zahl 0 selbst, gehört sie auch zu den natürlichen Zahlen? Darüber gibt es verschiedene Meinungen. Möchten wir sie in die natürlichen Zahlen einbeziehen, dann schreiben wir eine tiefgestellte Null an das Zeichen, also ℕ0.
➡️ Um die Zugehörigkeit zu einer Menge darzustellen, benutzen wir außerdem das Zeichen ∈, was für “Element” steht.
Zum Beispiel: 4 ∈ ℕ
Denn die Zahl 4 gehört zur Menge der natürlichen Zahlen und ist ein Element dieses Zahlenbereichs.
Ganze Zahlen: Zahlenmenge Z
Eine Ebene über den natürlichen Zahlen liegen die ganzen Zahlen, dargestellt durch das Formelzeichen ℤ. Neben den positiven Zahlen aus ℕ und der 0 umfassen sie auch Zahlen mit negativem Vorzeichen.
“Ganz” heißen sie, weil sie keine Nachkommastelle besitzen: -5, -2, 0, 3, 7, usw. gehören in diesen Bereich. Auch solche Zahlenreihen mit negativem Vorzeichen können wir unendlich weiterführen. ♾️
In der Natur finden wir negative Beträge nicht, du kannst aber zum Beispiel dein Bankkonto überziehen und dann bei -150 Euro liegen oder Temperaturen unter 0 Grad messen. 💰 Bei der Subtraktion mit zwei natürlichen Zahlen können wir also im Ergebnis auf eine ganze Zahl mit negativem Vorzeichen kommen: 100 - 250 = -150.
➡️ Dass natürliche Zahlen eine Teilmenge der ganzen Zahlen bilden, lässt sich ebenfalls in einer Formel darstellen: ℕ ⊂ ℤ.
➡️ Da Beträge mit Nachkommastelle nicht zu den ganzen Zahlen gehören, schreiben wir außerdem: 0,4 ∉ ℤ - das Element-Symbol ist hier durchgestrichen.
Rationale Zahlen: Zahlenmenge Q
Was unterscheidet die Menge der rationalen Zahlen von den beiden bisher genannten Zahlenmengen? Ganz einfach: Wir können mit ihnen auch Nachkommastellen und Brüche darstellen: 1,3 oder 1,5, usw. 🧠 Wir bezeichnen diese Menge mit dem Symbol ℚ, das für “Quotient” steht.
Entweder, die Zahlen aus ℚ besitzen keine Nachkommastelle wie die 4 oder eine begrenzte Zahl von Nachkommastellen wie 1,2. Wiederholt sich die gleiche Nachkommastelle unendlich wie bei 1,3333 … sprechen wir von einer periodischen Zahl.
☝️ Auch die Division ist bei rationalen Zahlen möglich, beispielsweise: 7 : 5 = 1,4.
Wir dividieren dabei zwei ganze Zahlen miteinander, das Ergebnis ist jedoch keine ganze Zahl mehr, sondern gebrochen. Das können wir auch als einen Bruch darstellen: 7⁄5.
Die oben liegende Zahl nennen wir den Zähler, die untere den Nenner. Beide Beträge müssen ganze Zahlen sein und der Nenner darf nicht 0 heißen. Denn durch 0 können wir schließlich nichts teilen. In diesem Artikel haben wir dir das Bruchrechnen einfach erklärt.
➡️ Eigentlich können wir jede ganze Zahl auch als Bruch darstellen, zum Beispiel die 4 als 41 oder 82. In diesem Fall sprechen wir aber von einem Scheinbruch, die Zahl ist ja nicht wirklich gebrochen.
Nun kennen wir drei verschiedene Zahlenmengen: Die natürlichen Zahlen sind eine Teilmenge der ganzen Zahlen, welche wiederum eine Teilmenge der rationalen Zahlen bilden.
➡️ Als Formel stellen wir das folgendermaßen dar: N ⊂ Z ⊂ Q
Irrationale Zahlen: Zahlenmenge I
Ein wichtiger Teilbereich sind auch die irrationalen Zahlen. Diese Menge enthält NUR Zahlen, die sich nicht als Bruch darstellen lassen, die nach dem Komma nicht periodisch sind und auch nicht abbrechen. ⚠️ Ihre unendlichen Nachkommastellen enthalten also verschiedenste Ziffern. Dargestellt wird diese Menge mit dem Symbol I.
➡️ In einer Rechnung gelangen wir oft durch das Wurzelziehen von natürlichen Zahlen zu den irrationalen Zahlen.
Zur Erinnerung: Wurzelrechnen ist das umgekehrte Potenzrechnen, also beispielsweise: √4 = 2, denn 2 x 2 = 22 = 4. In diesem Fall ist das Ergebnis aber eine einfache, natürliche Zahl.
➡️ Ziehen wir die Wurzel aus 27, dann kommen wir allerdings auf keine rationale Zahl mehr. Denn √27 = 5,1961524227 …, mit unendlichen, nicht periodischen Nachkommastellen, was sich auch nicht als Bruch darstellen lässt. √27 ist also eine irrationale Zahl.
💡 Berühmt ist besonders die irrationale Zahl Pi, welche das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser beschreibt. Wir benötigen sie zum Beispiel bei Formeln, in denen es um Berechnungen mit Kreisen geht. Dargestellt durch das Symbol π schreiben wir: π = 3,14159265 …
Reelle Zahlen: Zahlenmenge R
🔎 Zoomen wir aus den rationalen Zahlen eine weitere Ebene heraus, kommen wir in den Bereich der reellen Zahlen. Damit gemeint sind rationale UND irrationale Zahlen, dargestellt durch das Symbol ℝ. Reelle Zahlen sind in der Regel der maximale Zahlenbereich, den wir in der Schule behandeln.
Da sie den rationalen und irrationalen Zahlenbereich umfassen, schreiben wir: ℝ = ℚ I.
➡️ Die Formel der uns bekannten Zahlenmengen sieht inzwischen so aus: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ ℝ
Komplexe Zahlen: Zahlenmenge C
Etwas fortgeschrittener ist der Bereich über den reellen Zahlen, den wir mit ℂ bezeichnen und komplexe Zahlen nennen. Wir brauchen sie vor allem, um die Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen, was mit dem reellen Bereich nicht möglich ist. Dafür wird die imaginäre Einheit i2 = -1 verwendet. ❌ In der Schule behandelt man dieses Thema aber normalerweise nicht.
➡️ Darüber hinaus gibt es zum Beispiel noch die Ebene der Quaternionen mit dem Zeichen ℍ, was aber deutlich komplizierter wird und über unseren Artikel hinausgeht.
Andere Zahlenmengen
💡 Nun haben wir die wichtigsten Zahlenmengen besprochen. Daneben gibt es aber noch weitere Teilmengen der genannten Zahlenbereiche:
- Primzahlen gehören zu den natürlichen Zahlen, sind aber nur durch 1 und sich selber teilbar. Also beispielsweise 2, 3, 5, 7, 11, usw. Dargestellt wird dieser Bereich mit dem Symbol ℙ. Achtung, die 1 selbst ist keine Primzahl!
- Gerade Zahlen sind ganze Zahlen, die durch 2 teilbar sind. Nach der Division ergeben sie also wieder eine ganze Zahl: -4, -2, 0, 2, 4, usw. gehören dazu.
- Ungerade Zahlen sind ganze Zahlen, die bei der Division durch 2 einen Rest von 1 erhalten, den wir nicht dividieren können, ohne den Zahlenbereich zu verlassen. Also etwa die 9, denn 9 : 2 = 4 und Rest 1. Beim Ergebnis 4,5 wären wir schließlich schon in den rationalen Zahlen.
- Bei den irrationalen Zahlen gibt es auch zwei Teilmengen: zu den algebraischen Zahlen zählen Quadratwurzeln aus Nicht-Quadratzahlen, die man außerdem als Polynom darstellen kann. Wie in unserem Beispiel weiter oben √27.
- Transzendente Zahlen sind dagegen irrationale Zahlen, die sich nicht als Polynom darstellen lassen. Beispielsweise die erwähnte Zahl Pi, aber auch die eulersche Zahl e = 2,718281828…
➡️ Jetzt kennst du alle in der Schule relevanten Zahlenmengen und noch ein wenig mehr. Dieser Überblick hilft dir beim allgemeinen Verständnis der Mathematik weiter.
Auch über andere Themen haben wir hilfreiche Artikel veröffentlicht, zum Beispiel über die Vorbereitung auf das Abi in Mathe. 😀 Oder über die faszinierende Zahl Pi.
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