Kapitel:
- Bruchrechnen einfach erklärt
- Bruchrechnung: 4 Regeln
- Bruchrechnen üben mit Beispielaufgaben (mit Lösungen)
- Bruchrechnen online lernen mit GoStudent
- Bruchrechnen Aufgaben (PDF kostenloser Download)
Mathe ist kompliziert und das braucht im wahren Leben eh keiner? 🙈 Weit gefehlt - Bruchrechnung zum Beispiel, ist im ganzen Leben relevant und wird immer wieder benötigt. ✌️
Wir kennen es alle - Die Pizza 🍕 soll in eine ungerade Zahl von Stücken geteilt werden. Oder du musst mit Anteilen hantieren, damit das Kuchenrezept 🍰auch funktioniert.
All das sind Beispiele von Brüchen - also Anteilen eines ganzen. Du solltest also auf jeden Fall wissen, was ein Bruch ist, was du damit machen kannst und wie du damit rechnest. 👀 Viel Spaß!
1. Bruchrechnen einfach erklärt
Im Grunde geht es bei einem Bruch darum, Anteile von einem Ganzen zu zeigen. Das einfachste und klassische Beispiel ist eine Pizza:
Die ganze Pizza kannst du nämlich in viele verschiedene Stücke teilen, zum Beispiel in:
- zwei Hälften 2⁄2
- drei Drittel 3⁄3
- vier Viertel 4⁄4
- fünf Fünftel 3⁄3
- und so weiter
Hinter diesen geläufigen Bezeichnungen Hälfte, Drittel, Viertel und Fünftel, siehst du schon einmal einen ersten Bruch. Das ist im Prinzip nichts weiter als ein Symbol, welches die Anteile eines Ganzen anzeigt. Hier schauen wir uns einen Bruch einmal genauer an:
1. Bestandteile des Bruchs
Ein Bruch besteht aus drei Teilen:
- Zähler (die obere Zahl): Die Gesamtzahl der Teile des Ganzen, mit denen etwas passiert (Wie viele Teile der Pizza haben wir zum Beispiel gegessen).
- Bruchstrich: Der Strich zwischen Nenner und Zähler.
- Nenner (die untere Zahl): Wie viele Teile hat das Ganze (Wie viele Teile hat die Pizza).
Was machen wir nun mit diesem Bruch und der Pizza? Nehmen wir einmal an, du hast eine Pizza, die in drei Drittel geteilt ist (3⁄3). Hier zeigt der Nenner, dass es drei Stücke der Pizza gibt. Bei der Interpretation des Zählers hingegen kommt es auf die Fragestellung an.
Isst du zum Beispiel ein Stück der Pizza, dann hast du 1⁄3 gegessen. Also eines von drei Stücken.
Andersherum betrachtet bleiben dir also 2⁄3 übrig. Also zwei von drei Stücken, weil du eines ja schon gegessen hast. 😋
Jetzt fragst du dich vielleicht, warum die untere Zahl so verschieden sein kann. Denn es ist ja am Ende nur eine Pizza, egal ob sie in Drittel oder Viertel geteilt ist. Warum haben wir dann manchmal 2, 3, 4 oder fünf im Nenner stehen?
Die Antwort ist ganz einfach: Jeder Bruch zeigt eine gewisse Anzahl eines Ganzen.
Nenner und Zähler zeigen nur an, wie viele Teile es insgesamt gibt und was damit passiert. Nenner und Zähler sagen dir nicht, ob es eine oder zwei Pizzen gibt.
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2. Brucharten
Insgesamt gibt es drei verschiedene Arten von Brüchen. Diese sind:
- Echte Brüche: Der Nenner ist größer als der Zähler, z.B. 2⁄3
- Unechte Brüche: Der Zähler ist größer als der Nenner, z.B. 3⁄2
- Gemischte Brüche: Die Verbindung einer ganzen Zahl mit einem Bruch, z.B. 2 2⁄3
Hier lohnt es sich auch, kurz zu erklären, wie wir die Zahlen bei größeren Brüchen aussprechen. Den Zähler sprechen wir als normale Zahl aus. Den Nenner hingegen markieren wir durch das Kürzel ,,-tel”. Den Bruch 234⁄448 lesen wir also als Zweihundertvierunddreißig Vierhundertachtundvierzigstel. 😅 Der Bruchstrich wird also nie mit ausgesprochen.
2. Bruchrechnung: 4 Regeln
Bis jetzt hast du nun verstanden, was ein einfacher Bruch ist. Wir haben wir außerdem gezeigt, wie du damit erste Dinge darstellen kannst. Daher können wir jetzt zeigen, was es sonst noch bei Bruchrechnungen zu wissen gibt.
Stell dir einmal vor, du hast zwei Pizzen. Die eine besteht aus 4⁄4, also aus vier Vierteln. Die zweite Pizza hingegen hat jemand in 5⁄5, also fünf Fünftel geschnitten. Jetzt nimmt dein kleiner Bruder 2⁄4 der ersten Pizza und 3⁄5 der zweiten Pizza. Unverschämtheit! 🤓
Wenn du jetzt wissen willst, wie viele Teile der zwei Pizzen du hast, wird es etwas schwierig. Du möchtest ja nicht sagen, ich habe 2⁄4 und 2⁄5 übrig. Sondern du möchtest das idealerweise in einem Bruch ausdrücken können.
Glücklicherweise gibt es auch dafür Regeln. Aber davor lernst du, wie du Brüche mit gleichem Nenner addieren und subtrahieren kannst.
Addition und Subtraktion bei gleichem Nenner im Bruch
Wenn der Nenner bei zwei oder mehr Bruchzahlen gleich ist, wird es sehr einfach für dich. Nehmen wir zur Abwechslung einmal zwei Torten. 🎂 Beide Torten sind in je 44 geschnitten. Wenn du von der ersten Torte ein Stück isst und von der zweiten ebenfalls, hast du zwei Mal drei Viertel übrig.
3⁄4+3⁄4 = 6⁄4= 3⁄2 = 1 1⁄2 oder 1,5
Bei der Addition mit gleichem Nenner brauchst du lediglich die Zähler zusammen zu rechnen. Insgesamt hast du hier sechs Viertel Kuchen übrig. Um diese Zahl einfacher darzustellen, kürzt du den Bruch soweit herunter wie möglich (➡️ siehe Brüche erweitern und kürzen weiter unten).
Danach musst du nur noch den Zähler durch den Nenner teilen (3⁄2 = 1,5) um zu einer Dezimalzahl (Kommazahl) zu kommen. Siehe an, du hast noch 1 1⁄2 oder 1,5 Torten übrig.
Anders herum kannst du nach dem gleichen Prinzip subtrahieren. Da du ein Viertel von je einer Torte gegessen hast, bleiben dir für jede Torte drei Viertel übrig:
4⁄4 - 1⁄4 = 3⁄4
Du subtrahierst also den Zähler der zweiten Bruchzahl vom Zähler der ersten und hast das Ergebnis. So einfach ist das!
Brüche erweitern und kürzen
Nun zurück zur Pizza. Um unterschiedliche Brüche miteinander addieren und subtrahieren zu können, musst du diese anpassen, da die Teilstücke der Pizzen unterschiedlich groß sind. Ein Viertel ist ja bekanntlich größer als ein Fünftel.
Dafür gibt es zwei Rechenoperationen, die du unbedingt kennen musst, Erweitern und Kürzen. Bei beiden geht es darum, die zwei oder mehr Brüche ,,auf einen Nenner” zu bringen. Hier lernst du sogar etwas für den Deutsch-Unterricht. 😜
Brüche Erweitern
Das Erweitern macht besonders dann Sinn, wenn die Nenner eher klein sind. Bei großen Nennern solltest du stattdessen kürzen.
Hier ein Beispiel: Bei dem obigen Pizza-Beispiel hatten wir 2⁄4 der ersten Pizza und 3⁄5 der zweiten Pizza übrig. Da die Nenner 4 und 5 unterschiedlich sind, müssen wir beide Brüche mit einer Zahl multiplizieren, damit der Nenner bei beiden gleich wird.
Probieren wir das hier einmal aus:
Am besten findest du die Lösung, indem du das kleinste, gemeinsame Vielfache der Nenner findest. Wenn du die Nenner 4 und 5 der Reihe nach mit den Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 multiplizierst, wirst du bei der 4 mit dem Multiplikator 5 auf die Zahl 20 stoßen. Bei der Zahl 5 führt der Multiplikator 4 zur 20.
Wichtig: Bei der Multiplikation dürfen weder Nenner noch Zähler zu einer Dezimalzahl (Kommazahl) führen. Wenn das nicht klappt, versuche es besser mit Kürzen.
Jetzt kannst du wie bei der Addition und Subtraktion vorgehen.
Brüche Kürzen
Bei großen Brüchen müssen wir umgekehrt vorgehen. Das Kürzen eines Bruches bedeutet, dass du Zähler und Nenner durch die gleichen Zahl größer als 1 dividierst. Besonders bei sehr hohen Bruchzahlen wird es so übersichtlich.
Nehmen wir einmal an, du hast die folgenden beiden Brüche:
60⁄15 + 100⁄50 = ?
Da die Nenner nicht gleich sind, müssen wir sie angleichen. Erweitern macht hier keinen Sinn, sonst musst du wirklich viel multiplizieren. Also versuchen wir, die Zahlen so weit wie möglich zu reduzieren.
Hier könnten wir zum Beispiel auf die Zahl fünf kürzen. Wir können den ersten Bruch durch 3 dividieren und den zweiten durch 10. Diese beiden Zahlen lassen sich dann wieder einfach addieren oder auch subtrahieren.
Wichtig: Bei der Division dürfen weder Nenner noch Zähler zu einer ungeraden Zahl führen. Wenn das nicht klappt, versuche es besser mit erweitern.
Brüche multiplizieren
Brüche zu multiplizieren geht ganz einfach. Nehmen wir einfach die folgenden zwei Brüche:
3⁄4 * 5⁄7 = ?
Hier gilt die Regel: Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.
So einfach geht das!
Brüche dividieren
Natürlich ist auch die Division bei Brüchen möglich. Wir schreiben zuerst wieder ein paar Zahlen auf:
3⁄4 / 6⁄11 = ?
Bei der Division von Brüchen musst du lediglich zuerst den letzten Bruch umstellen. Aus 6⁄11 wird also 11⁄6.
Dann multiplizierst du beide Brüche wie bei der Multiplikation - und fertig bist du.
3. Bruchrechnen üben mit Beispielaufgaben (mit Lösungen)
Hier findest du ein paar Beispielaufgaben mit dem Lösungsweg:
Brüche addieren
Brüche subtrahieren
4. Bruchrechnen online lernen mit GoStudent
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5. Bruchrechnen Aufgaben (PDF kostenloser Download)
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