Kettenregel einfach erklärt: Ableitung, Beispiele & Übungen

Findest du die Infinitesimalrechnung komplex und schwierig? 🤯 Keine Sorge, wir sind hier, um das für dich zu ändern, indem wir eine der wichtigsten Regeln dieser Thematik - die Kettenregel - detailliert und intuitiv erklären. Diese Regel kann auf alle zusammengesetzten Funktionen angewendet werden und macht das Differenzieren so viel einfacher! 😇

Am Ende dieses Artikels solltest du in der Lage sein:

• Erklären, was man unter der Funktion einer Funktion versteht 🧐
• Die Kettenregel aufstellen
• Eine Funktion einer Funktion differenzieren

Das kann dir zum Beispiel bei der Vorbereitung auf das Mathe-Abitur helfen. Also, lass uns gleich loslegen! 🤠

Kapitel:

1. Kettenregel Ableitung: Einfach erklärt
2. Wiederholung und Verständnis von zusammengesetzten Funktionen
3. Die Kettenregel im echten Leben verstehen
4. Anwendung der Kettenregel in der Mathematik
5. Kettenregel Übungen
6.  

Kettenregel Ableitung: Einfach erklärt

Die Kettenregel ist eine Methode der Mathematik, um die Ableitung von zusammengesetzten Funktionen zu finden. 👩‍🏫 Einfach ausgedrückt: eine Funktion innerhalb einer anderen Funktion (stell dir einen Keks mit Marmelade darin vor!). 🍪

Ein Beispiel für diese Art von Funktionen ist f(x) = (1+x)².

Die Kettenregel besagt: Wenn h und g Funktionen sind und f(x) = h(g(x)), dann:

f'_(x) =[h(g(x))]'=h′(g(x))g′(x)

Das sieht ein bisschen kompliziert aus, oder? Lasst es uns mithilfe des Keks-Beispiels aufschlüsseln: 

Die Hauptfunktion f(x) ist dein Keks 🍪, der gebildet wird, indem die Funktion g(x) (Marmelade 🍯) in die Funktion h(x) (Keksteig) gelegt wird. Damit ist h(x) die Außenfunktion und g(x) die Innenfunktion. ↕️

Wenn wir nun die Ableitung der Hauptfunktion f(x) finden wollen, wenden wir die Kettenregel an. ⛓

✅ Schritt 1: Bestimme die innere und äußere Funktion.

✅ Schritt 2: Bestimme die Ableitung der äußeren Funktion h(x).

✅ Schritt 3: Nimm die Ableitung der inneren Funktion g(x).

✅ Schritt 4: Multipliziere diese beiden Ableitungen.

✅ Schritt 5: Vereinfache.

Lass uns das anhand eines mathematischen Beispiels verstehen:

📝 Beispiel: Finde die Ableitung von f(x)=(2x+5)³

💡 Lösung: 

In diesem Beispiel beginnen wir damit, die inneren und äußeren Funktionen zu bestimmen: 

• Die innere Funktion g(x) = 2x + 5. 🍯
• Die äußere Funktion h(x) ist (g(x))³. 🍪 

Mithilfe der Potenzregel wissen wir, dass die Ableitung von y³ gleich 3y² ist.

Vergiss also 2x + 5 und tue so, als wäre es ein y. Wenn du das getan und die Ableitung gefunden hast, öffne wieder das y (2x + 5) und finde auch dessen Ableitung. Multipliziere nun die beiden. ✖️

Vereinfacht sieht es wie folgt aus:

f'(x) =[(2x+5)^³]'=3(2x+5)^2(2x+5)′

f'(x) =3(2x+5)^2(2)

Lösung: f'(x) =6(2x+5)^2

Wiederholung und Verständnis von zusammengesetzten Funktionen

Wie wir oben kurz besprochen haben, ist eine Funktion zusammengesetzt, wenn sie eine Funktion innerhalb einer Funktion oder eine Funktion einer Funktion ist.

Mathematisch kann sie als h(g(x)) geschrieben werden, wobei g(x) die innere Funktion und h(x) die äußere Funktion ist. Normalerweise ist es am besten, eine zusammengesetzte Funktion mit der Kettenregel zu differenzieren. 

Allerdings kommen Schüler oft durcheinander, wenn es um die Zusammensetzungen von Funktionen geht, vor allem bei trigonometrischen und logarithmischen Funktionen. Sie erkennen innere und äußere Funktionen dann oft falsch. 🙈

Das lässt sich leicht vermeiden, wenn du dir immer vor Augen hältst, dass zusammengesetzte Funktionen wie ein Keks mit Marmelade im Inneren sind - eine Funktion in der anderen!

Lass uns schnell überprüfen, ob du bis hierher mitgekommen bist:

• Ist Sin(x)cos(x) eine zusammengesetzte Funktion? 
• Was ist mit sin(cosx)? 😎

Wenn deine Antwort auf die erste Frage "Nein" und auf die zweite "Ja" lautete, dann hast du gut gearbeitet! Glückwunsch! 👏

Die Kettenregel im echten Leben verstehen

In der höheren Mathematik hast du bereits die Potenzregel zur Ableitung einfacher Funktionen gelernt. Aber nun wirst du plötzlich mit zusammengesetzten Funktionen und der Kettenregel konfrontiert und fragst dich vielleicht, wozu das alles gut sein soll! ☝️ Damit hast du völlig recht, denn die Intuition dahinter ist nicht einfach.

Deshalb wollen wir dir helfen, die Logik hinter der Formel der Kettenregel zu verstehen. 👀

Nehmen wir an, wir wollen messen, wie sich dein Glück anhand verschiedener Faktoren verändert: 

• Wir finden heraus, dass dich das Spielen von Spielen glücklich macht. 😊 
• Vielleicht macht dich Fußball ⚽️ spielen glücklicher als Schach spielen! 
• Wenn du gar nicht spielen kannst, bist du traurig.
• Wenn du dein Lieblingsspiel spielen kannst, bist du am glücklichsten. 
• Und wenn du zu viel spielst, wirst du zu müde und bist nicht mehr glücklich.

Mathematisch lässt sich dies wie folgt ausdrücken:

Glück (G) = g(Spielen) = g(S)

(S) = k(Zeit) = k(Z)

Jetzt wollen wir sehen, wie sich dein Glück in Abhängigkeit von der Zeit verändert. Dies kann als G'(Z) geschrieben werden.

Wenn wir die Kettenregel befolgen, können wir das obige Beispiel als folgende Gleichung schreiben:

G'(Z) = (g(S)' = (g(k(Z)))'

G'(Z) = g′(g(Z))g′(Z)

Der Grund, warum das funktioniert: Um zu beurteilen, wie sich dein Glück (G) mit der Zeit (Z) verändert, musst du sehen, wie glücklich dich das Spielen (S) direkt macht UND wie sich das Glück beim Spielen mit der Zeit verändert. ⏰

Auch wenn du gerne Fußball spielst, wird dein Glücksgefühl abnehmen, wenn du 8 Stunden am Stück spielst, obwohl es dein Lieblingsspiel ist. Und diese zeitliche Veränderung ist ein wichtiger Bestandteil, um herauszufinden, wie glücklich du tatsächlich wirst.

Anwendung der Kettenregel in der Mathematik

Wie bereits erwähnt, ist die Kettenregel aufgrund ihrer massenhaften Anwendbarkeit vielleicht eine der nützlichsten Regeln in der Infinitesimalrechnung. Wenn du die Kettenregel einmal beherrschst, kannst du die Ableitungen aller zusammengesetzten Funktionen finden, unabhängig von ihrem Typ, solange du dich an die Schritte erinnerst! 👻

Die Kettenregel ist nicht nur bei der Arbeit mit polynomischen Funktionen sehr hilfreich, sondern auch bei:

• Trigonometrischen Funktionen ✅
• Logarithmischen Funktionen ✅
• Exponentialfunktionen ✅

Kettenregel Übungen

Wir hoffen, du konntest dem Artikel bis hierher folgen. Jetzt bist du bereit, all dein neu erworbenes Wissen in die Praxis umzusetzen. Hier sind ein paar Übungsfragen und Antworten, damit du dir die Kettenregel für immer einprägen kannst. Viel Erfolg beim Lernen! 😍

Und keine Sorge, wenn du nicht auf Anhieb alles verstehst. Manchmal ist es hilfreich, mit einer anderen Person in Ruhe alles Schrittt für Schritt durchzugehen.

Übungsaufgaben:

1.  y = tan(x 2 + sin x)
2.  y = (2 − x 5 ) ^9
3.  y = (6x + 5)^5/3
4.  y = 1/(3 − x)^4
5.  y = cos(1 − 4x)
6.  y = sin(ln x)
7.  y = 1/ x ^2 + 2x + 1
8. y = ln (sin^2x)
9.  y = (sin x + cos x) ^3
10.  y = e ^2−3x

Lösungen:

1. y'(x) = (2x + cos x).sec^2 (x^2 + sin x)
2. y'(x)= −45x^4 (2 − x ^5 )^8
3. 10(6x + 5)^2/3
4. 4 /(3 − x)^ 5
5. 4 sin(1 − 4x)
6. cos(ln x)/ x
7. −2 (x + 1)^3
8. 2 cos x
9. 3(cos x − sin x)(sin x + cos x)^2

−3e^2−3x