MATHEMATIQUES

Maths collège : comprendre la proportionnalité en 10 minutes

Sommaire

  1. Qu’est-ce que la proportionnalité ?
  2. Le tableau de proportionnalité
  3. La représentation graphique de grandeurs proportionnelles
  4. Le produit en croix et la quatrième proportionnelle

 

Un ancien cancre en maths explique à votre enfant ce qu’est la proportionnalité. Ça ressemble à un sketch ? Justement, je veux vous montrer qu’avec un peu de travail (et un bon professeur particulier), on peut s’en sortir !

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Qu’on se le dise tout de suite :  je ne suis pas un matheux. À tel point que j’ai passé un BAC Littéraire et que les maths m’ont fait peur jusqu’à la fac 😅. Mais l’important c’est de prendre le taureau par les cornes et de ne pas se laisser intimider ! 

En plus, les mathématiques sont vraiment importantes pour le choix d’orientation de votre enfant. Je sais que cela peut paraître tôt pour y penser, mais l’avenir se prépare dès le collège. Imaginez que, plus tard, votre enfant veuille faire une école d’ingénieur ! Il ne faut pas qu’il prenne du retard en maths. 

👉C’est pourquoi, histoire de garder le niveau pendant les vacances, je vous explique tout ce que votre enfant doit savoir sur la proportionnalité, une notion très importante au collège. En espérant parvenir à démystifier les mathématiques, au moins le temps d’un article  !

 

1 - Qu’est-ce que la proportionnalité ?

 

Définition de la proportionnalité 👨‍🏫

⚠️La proportionnalité est une relation entre deux grandeurs. On dit que deux grandeurs sont proportionnelles, si l’on peut obtenir les valeurs de l’une en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre non nul. Ce nombre est alors appelé coefficient de proportionnalité.

Précisons tout de suite qu’une « grandeur » est tout simplement une caractéristique qui se mesure ou qui se calcule : une quantité, un prix, une vitesse, une durée, etc. Et avec quelques exemples vous allez voir que c’est vraiment très simple 😎:

💡Jérémy paie son café 1,4€. S’il offre une tournée à ses cinq amis, cela lui coûtera  5 × 1, 4 = 7€ (et il pourra se faire de nouveaux amis 😉). Le prix est proportionnel au nombre de cafés achetés. Il y a donc une relation de proportionnalité entre le prix et la quantité. 

☝️Au contraire, par exemple, il n’y a pas de relation de proportionnalité entre l’âge et la taille d’un enfant. En effet, lorsque son âge double, sa taille ne double pas.

Lire aussi : Tout savoir sur les programmes de maths au collège

2 - Le tableau de proportionnalité

 

Lorsque plusieurs grandeurs sont proportionnelles, il est d’usage de les représenter sous la forme d’un tableau. Cela permet de mieux les visualiser et de faciliter les calculs. 

Définition du tableau de proportionnalité 

⚠️Un tableau est dit de proportionnalité si pour passer de la première ligne à la seconde ligne, on multiplie toujours les valeurs de la première ligne par un même nombre. Et comment s’appelle ce nombre ? On en a parlé dans le premier paragraphe… 🧐 Oui ! Vous avez trouvé : c’est le fameux coefficient de proportionnalité.

En l’occurrence, le coefficient de proportionnalité est de 1,4 : pour passer de la ligne du haut à la ligne du bas, on multiplie toujours la première par 1,4.

Dans ce cas, on dira que les deux grandeurs, correspondant à chaque ligne, sont proportionnelles.

Comment savoir si les grandeurs d’un tableau sont proportionnelles ?

Facile ! Il suffit de diviser les valeurs de la ligne du bas par celles de la ligne du haut. Ainsi, vous obtiendrez le coefficient de proportionnalité. Si ce coefficient est le même à chaque colonne, il s’agit bien d’un tableau de proportionnalité (les deux grandeurs du tableau sont donc proportionnelles) !

Dans l’exemple ci-dessus, on voit que c’est bien le cas : 

✅1,4 / 1 = 1,4 ; 

✅2,8 / 2 = 1,4 ; 

✅11,2 / 8 = 1,4.

Pour passer de la ligne du haut à la ligne du bas, on multiplie toujours par 1,4 !

Comment compléter un tableau de proportionnalité ? 🧐

Considérons un autre exemple :

💡Première méthode : le passage à l’unité

 

🧐Puisqu’en 4 heures nous parcourons 10 km, combien de kilomètres parcourons-nous en 1 heure ? 

👉Réponse : 10 / 4 = 2,5. Nous parcourons 2,5 km en une heure. 

Donc en 10 heures nous parcourons 25 km (10 × 2,5) et en 350 heures nous parcourons 875 km (350 × 2,5).

🧐Et le 15 qui reste seul ? Comment faire si je connais la ligne du bas mais pas la ligne du haut ? 

👉Si en une heure je parcours 2,5km, alors pour passer de la ligne du bas à la ligne du haut je n’ai qu’à diviser par 2,5 !

✅15 / 2,5 = 6. Les 15 km sont parcourus en 6h. 

Résultat :

💡Deuxième méthode : en additionnant les colonnes 

Par exemple, pour trouver la valeur manquante de la troisième colonne, il suffit d’additionner les colonnes 1 et 2. 

👉En effet, 10h représentent bien 4h + 6h. Or nous savons que nous parcourons 10km en 4h et 15km en 6h. Par conséquent nous parcourons 25km (10 + 15 = 25) en 10h. 

💡Troisième méthode : en utilisant le coefficient de proportionnalité

Finalement, cette méthode ressemble beaucoup à la première. Nous n’avons qu’à multiplier chaque valeur de la première ligne par le coefficient de proportionnalité, pour trouver les valeurs de la deuxième ligne. 

👉Pour trouver le coefficient de proportionnalité, je prends la première colonne et je divise la valeur de la deuxième ligne par la valeur de la première ligne. 

Dans notre exemple, j’effectue la division suivante :  10 / 4 = 2,5.  2,5 est donc le coefficient de proportionnalité. On peut le vérifier très facilement:

✅4 × 2,5 = 10

✅10 × 2,5 = 25 

✅350 × 2,5 = 875. 

Comme avec la première méthode, si je ne connais que la distance parcourue et que je cherche le temps, il me suffit de diviser la distance parcourue par le coefficient de proportionnalité. Ici, 15 / 2,5 = 6.

3 - La représentation graphique de grandeurs proportionnelles

 

À retenir 👨‍🏫

⚠️Deux grandeurs proportionnelles sont représentées graphiquement par des points alignés sur une droite qui passe par l’origine du repère.

⚠️Réciproquement, si une droite qui représente deux grandeurs passe par l’origine du repère, ces deux grandeurs sont proportionnelles.   

 

4 - Le produit en croix et la quatrième proportionnelle

 

Un produit en croix (aussi appelé règle de trois) correspond à la multiplication des valeurs situées sur une diagonale du tableau.




Vous pouvez vous en souvenir grâce à ce moyen mnémotechnique : imaginez la « croix » du produit en croix comme le signe multiplié ( × ). Je multiplie la valeur en haut à droite avec la valeur en bas à gauche. Et je multiplie la valeur en haut à gauche avec la valeur en bas à droite.

À retenir 👨‍🏫

⚠️Le produit de a par d est égal au produit de c par b. Autrement dit : a × d = b × c

À quoi cela le produit en croix peut-il servir ? 

Si, dans un tableau de proportionnalité, je connais trois valeurs de deux colonnes, je peux facilement trouver la quatrième valeur à l’aide du produit en croix.

Par exemple, je cherche ici la distance parcourue dans la deuxième colonne. Donc, compte-tenu des propriétés du produit en croix : 

4 × ? = 10 × 10

4 × ? = 100

? = 100 / 4

? = 25

✅J’espère avoir réussi à vous expliquer ce qu’est la proportionnalité ! Si jamais je n’ai pas été à la hauteur de l’exercice ou si ce n’est pas encore très clair, nos profs particuliers (des vrais mathématiciens, pas comme moi 😄) sont là pour tout vous expliquer ! Faites appel à eux, ils sauront partir du niveau de votre enfant pour le faire progresser à la vitesse de la lumière 🚀!

 

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