Kapitel
Von diesem Satz hast du sicher schon einmal gehört: a² + b² = c². Das ist der Satz des Pythagoras. Aber was bedeutet er eigentlich und was kannst du damit berechnen? Das erklären wir dir in diesem Artikel. 🤓
Was ist der Satz des Pythagoras?
Der Satz des Pythagoras zählt zu den bekanntesten Lehrsätzen der Mathematik. 🧐 In einem rechtwinkligen Dreieck stellt er eine Beziehung zwischen den Seiten a, b und c her – wobei a und b die sogenannten Katheten sind und c die Hypotenuse. Als Hypotenuse wird die längste Seite im Dreieck bezeichnet. Diese liegt dem 90°-Winkel gegenüber. Die Katheten sind die beiden kürzeren Seiten, zwischen denen der 90°-Winkel gebildet wird.
Kurz gesagt, bedeutet der Satz des Pythagoras, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Katheten zum Quadrat gleich der Hypotenuse zum Quadrat ist. Oder eben die Formel: a² + b² = c².
Man könnte den Satz also auch so formulieren: 👇
(Kathete)² + (Kathete)² = (Hypotenuse)²
Mit dieser Formel kannst du wichtige Aussagen bezüglich der Seitenlängen im Dreieck treffen. Wie du anhand der Beispiele sicher feststellen wirst, können mithilfe des Satzes des Pythagoras einzelne Seitenlängen berechnet werden, wenn man die anderen kennt.
Was ist ein rechtwinkliges Dreieck?
Als rechtwinkliges Dreieck bezeichnet man ein Dreieck mit einem rechten Winkel, also einem 90°-Winkel zwischen zwei Seiten – den Katheten. Durch diesen rechten Winkel wird es besonders einfach, Berechnungen zu den Seitenlängen durchzuführen – viel einfacher, als bei anderen geometrischen Formen. Und genau das schaffst du mit dem Satz des Pythagoras. 🙌
Satz des Pythagoras Beispiele
Mit den folgenden Beispielen möchten wir dir dabei helfen, den Satz des Pythagoras noch besser zu verstehen. Durch die Beispiele kannst du sehen, welche Möglichkeiten dir die Formel gibt.
Beispiel 1:
❓ Aufgabe: In einem rechtwinkligen Dreieck kennst du die Längen der beiden Katheten a und b. Die Kathete a ist 6 cm und b 8 cm lang. Berechne die Hypotenuse c.
💡 Lösung: Rufen wir uns zunächst unsere Formel wieder in Erinnerung: a² + b² = c². In unserem Beispiel kennen wir a und b. Also stellen wir die Formel so um, dass wir c herausfinden. Zunächst müssen wir beachten, dass sowohl die Zahlen als auch die Formeln unserer Formel quadriert sind. Bei den Einheiten gilt: cm² = cm x cm. Um die Länge der Hypotenuse c zu erhalten, müssen wir aus der anderen Seite der Gleichung, also a² + b², die Wurzel ziehen. Dabei wird auch aus cm² wieder die Einheit cm.
Beispiel 2: Kathete berechnen
❓ Aufgabe: In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Längen der Kathete a sowie der Hypotenuse c bekannt. Kathete a = 4 cm, Hypotenuse c = 10 cm. Berechne die Kathete b.
💡 Lösung: Rufen wir uns erneut den Satz des Pythagoras in Erinnerung: a² + b² = c². Um b zu erhalten, müssen wir zunächst die Gleichung umstellen. b ergibt sich aus der Wurzel aus (c²-a²). Dasselbe könntest du natürlich auch zur Berechnung der Kathete a machen.
Wenn du noch Fragen zu den Beispielen hast, könnte dir auch unser Blogartikel zum Lösen von Gleichungen weiterhelfen. 🙌
Satz des Pythagoras Übungsaufgaben mit Lösung
Haben dir die Beispiele im letzten Absatz geholfen, den Satz des Pythagoras besser zu verstehen? Super! Mit den folgenden Übungen kannst du dein neues Wissen weiter verbessern. Die Lösungen dazu findest du im letzten Absatz – aber nicht schummeln! 😉
Wenn das Ergebnis nicht ganzzahlig ist, runde auf eine Dezimalstelle! Bereit? Auf die Plätze, fertig, los!
1) a = 5 cm, c = 16 cm
2) a = 6 cm, b = 9 cm
3) b = 8 cm, c = 10 cm
4) a = 12 cm, c = 15 cm
5) b = 12 cm, c = 20 cm
6) a = 8 cm, b = 12 cm
Der Beweis für den Satz des Pythagoras
Möglichkeiten, um den Satz des Pythagoras zu beweisen, gibt es so einige – mehrere hundert Beweise sind bekannt. Damit gilt er als der am häufigsten bewiesene Satz der Mathematik. Als Nachweis für seine Richtigkeit gelten zum Beispiel der Beweis nach Euklid, Beweis durch Addition abgeleiteter Flächeninhalte, Beweis durch Ergänzung, Beweis durch Scherung, Beweis mit Ähnlichkeiten und der Beweis der Umkehrung. Was nur wenige wissen: Selbst Albert Einstein hat einen Beweis für den Satz des Pythagoras geliefert!
Satz des Pythagoras Übungsaufgaben – Lösungen
Bist du schon fertig mit den Übungen? Wirklich? Du weißt ja, Schummeln gilt nicht! ❌ Hier bekommst du die Lösungen für die Übungen aus diesem Artikel:
1) b = 15,2 cm
2) c = 10,8 cm
3) a = 6 cm
4) b = 9 cm
5) a = 16 cm
6) c = 14,4 cm
Na, wie ist es dir mit den Übungsbeispielen ergangen? Hast du alle Beispiele richtig berechnet? Oder würdest du dich noch über etwas mehr Übung freuen? Wenn du den Satz des Pythagoras noch nicht so ganz verstanden hast, dann teste eine kostenlose Nachhilfestunde bei GoStudent.
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