Les 3 façons de résoudre des équations

Sommaire 

1. Qu’est-ce qu’une équation ?
2. Des schémas pour résoudre les équations simples
3. La méthode détaillée pour résoudre toutes les équations du 1^er degré
4. La méthode simplifiée pour résoudre toutes les équations du 1^er degré

Les équations, c’est le début des soucis en maths pour beaucoup d’entre vous. En effet, si des difficultés se faisaient sentir avec le calcul littéral (ou calcul algébrique), ce sera davantage compliqué avec les équations. Mais pas de panique ! Si tu apprends la méthode, et t’entraîne à la pratiquer, alors tu y arriveras ! Voici 3 façons de résoudre les équations pour t’aider au mieux.💪

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1 - Qu’est-ce qu’une équation ?

Définition d’une équation : Une équation est une égalité entre deux membres avec la présence d’une inconnue. 

📝 Exemple :

5x + 2 = 3x - 2

5x+2 est notre premier membre, 3x-2 est notre second membre. Nous avons bien une égalité entre ces deux membres, et notre inconnue est x.

Lorsque l’on veut résoudre une équation, on souhaite trouver toutes les valeurs possibles pour notre inconnue qui vérifie notre égalité. Ces valeurs sont appelées les solutions.

📝 Exemple :

5x + 2 = 3x - 2

Si je prends x = -2, alors j’obtiens : 5x(-2)+2 = -10+2 = -8 et 3x(-2)-2 = -6-2 = -8.

L’égalité est bien vérifiée pour x = -2, donc -2 est une solution de l’équation.

2 - Des schémas pour résoudre les équations simples

Les équations les plus simples sont celles où seul l’un des membres contient une inconnue.

📝 Exemple :

2x + 4 = 0

Ou encore

-2 = -x + 3

Dans ces cas-là, nous pouvons schématiser comment a été construit le membre comportant notre inconnue.

Pour 2x + 4 = 0 :

Si l’on part de x et que l’on souhaite arriver à 2x + 4, on constate que nous devons effectuer deux opérations.

Dans un premier temps, nous devons multiplier x par 2, dans un second temps, nous devons ajouter 4.

Voici le schéma obtenu :

Pour retrouver la solution de l’équation, il ne nous reste plus qu’à faire le chemin inverse.

Comme 2x + 4 = 0, on met 0 dans la dernière case et on complète la case du milieu, et la première case, comme ceci :

La solution de l’équation est donc -2. 💯

Pour -2 = -x + 3 :

Si l’on part de x et que l’on souhaite arriver à -x + 3, on constate que nous devons effectuer deux opérations.

Dans un premier temps, nous devons multiplier x par -1, en effet, -x = -1x. Dans un second temps, nous devons ajouter 3.

Voici le schéma obtenu :

Pour retrouver la solution de l’équation, il ne nous reste plus qu’à faire le chemin inverse.

Comme -x + 3 = -2, on met 0 dans la dernière case et on complète la case du milieu, et la première case, comme ceci :

La solution de l’équation est donc 5. 💯

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3 - La méthode détaillée pour résoudre toutes les équations du 1^er degré

Cette méthode s’applique à toutes les équations du 1^er degré. Elle consiste à transformer notre équation de manière à avoir notre inconnue sur un seul membre, puis à isoler l’inconnue (donc enlever tous les nombres autour) afin de trouver notre solution sur le second membre.  

📝 Exemple :

- 3x - 2 = - x + 3

1^ère étape : La première étape de la résolution d’une équation consiste à transformer notre équation pour avoir des inconnues uniquement sur le premier membre.

On constate que sur le membre de droite, c’est le -x que l’on souhaite enlever. Pour cela, il faut donc ajouter x, en effet -x + x = 0. Cependant, il faut faire attention à bien conserver notre égalité. Les équations, c’est comme une balance. Si j’enlève ou ajoute une masse d’un côté, je dois enlever ou ajouter la même masse de l’autre pour que la balance reste à l’équilibre. C’est ce que nous allons faire ici. Si nous devons ajouter x à droite, alors nous ajoutons x à gauche.

On trouve alors :

- 3x - 2 + x = - x + 3 + x

On calcule ce que l’on peut calculer :

-2x – 2 = 3

2^ème étape : Pour résoudre une équation, on doit isoler notre inconnue.

Nous devons enlever du membre de gauche tous les nombres pour qu’il ne reste plus que notre inconnue.

Il y a un ordre à respecter. Nous devons commencer par les nombres qui sont les plus loin de x. Si sur le membre de gauche votre expression est factorisée et simplifiée, alors le nombre à enlever est un nombre que l’on ajoute ou que l’on soustrait.

Ici, c’est -2. On sait que -2+2 = 0, donc nous allons ajouter 2 de chaque côté de notre équation.

-2x – 2 + 2 = 3 + 2

On calcule :

-2x = 5

Maintenant, nous pouvons passer au nombre par lequel on a multiplié ou divisé x. Ici, on a multiplié x par -2. Ce que l’on souhaite, c’est n’avoir que 1x, et pas -2x, nous devons donc diviser par -2. En effet, -2/-2 = 1.

-2x/-2 = 5/-2

On calcule :

x = - 5/2

3^ème étape : On conclut en donnant la solution de notre équation.

La solution de l’équation est -5/2. 💯

 Ce que vous devez écrire sur votre copie : 

- 3x - 2 = - x + 3

-2x – 2 + 2 = 3 + 2

-2x = 5

-2x/-2 = 5/-2

x = - 5/2

La solution de l’équation est -5/2. 

4 - La méthode simplifiée pour résoudre toutes les équations du 1^er degré

Cette méthode s’applique aussi à toutes les équations du 1^er degré. De la même manière que la précédente, elle consiste à transformer notre équation de manière à avoir notre inconnue sur un seul membre, puis à isoler l’inconnue afin de trouver notre solution sur le second membre. Cependant, elle nous permet de rédiger un peu moins.

Attention : Si tu n'es pas à l’aise avec les équations, il peut être préférable de conserver la deuxième méthode pour comprendre la méthode au mieux.

📝 Exemple :

- 3x - 2 = - x + 3

1^ère étape : On transforme notre équation pour avoir des inconnues uniquement sur le premier membre.

On constate que sur le membre de droite, c’est le -x que l’on souhaite enlever. Enlever ce -x revient à ajouter x, en effet -x + x = 0, donc nous allons ajouter x sur l’autre membre pour conserver l’égalité. Le - x à droite devient + x à gauche.

On trouve alors :

- 3x - 2 + x = 3

On calcule ce que l’on peut calculer :

-2x – 2 = 3

2^ème étape : On isole notre inconnue.

Nous devons enlever du membre de gauche tous les nombres pour qu’il ne reste plus que notre inconnue.

Ici, on commence par enlever -2. On sait que -2+2 = 0, donc nous allons ajouter 2 de l’autre côté de notre équation.

-2x = 3 + 2

On calcule :

-2x = 5

Enfin, ce que l’on souhaite, c’est n’avoir que 1x, et pas -2x, nous devons donc diviser par -2 le membre de droite. En effet, -2/-2 = 1.

x = 5/-2

On calcule :

x = - 5/2

3^ème étape : On conclut en donnant la solution de notre équation.

La solution de l’équation est -5/2. 💯

Ce qu’il faut retenir de cette méthode :

-        Les additions « se transforment » en soustraction de l’autre côté.

-        Les soustractions « se transforment » en addition de l’autre côté.

-        Les multiplications « se transforment » en division de l’autre côté.

-        Les divisions « se transforment » en multiplication de l’autre côté.

 Ce que tu peux écrire sur ta copie en faisant les étapes 1 et 2 en même temps : 

- 3x – 2 = - x + 3

- 3x + x = 3 + 2

-2x = 5

x = 5/-2

x = - 5/2

La solution de l’équation est -5/2.

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C’était donc 3 façons de résoudre les équations ! J’espère que cela va t’aider. Si les difficultés persistent et que tu as besoin d’une aide personnalisée, tu peux demander une leçon avec l’un de nos professeurs certifiés ! 🎓