Tout savoir sur les équations à deux inconnues et plus

Sommaire 

1. Résoudre des équations à deux inconnues à l’aide d’équation à une inconnue
2. Résoudre des systèmes d’équations à trois inconnues et plus avec la méthode du pivot de Gauss

Pour certains, les équations posaient déjà un problème au collège, désormais, tu vas être amené à résoudre des systèmes d’équations. Ces systèmes sont composés de plusieurs équations à plusieurs inconnues. Voici deux méthodes pour t’aider au mieux à les résoudre !

Si tu as des difficultés avec la résolution des équations du premier degré (niveau 3^ème), nous te conseillons de lire cet article en amont : Résoudre des équations du premier degré.

1 - Résoudre des équations à deux inconnues à l’aide d’équation à une inconnue

Dans certains exercices de résolution d’équation, nous pouvons avoir deux inconnues accompagnées de deux équations. En effet, tu auras toujours autant d’équations que d’inconnues, si tel n’est pas le cas, c’est que l’une des inconnues peut prendre n’importe quelle valeur d’un certain ensemble (par exemple l’ensemble des réels). 

Dans le cas présenté ci-dessus, il suffit de transformer la première équation et d’écrire une inconnue en fonction de l’autre puis d’intégrer cette expression dans notre deuxième équation.

Nous obtiendrons, à la place de la deuxième équation, une équation à une inconnue que l’on sait résoudre, puis nous n’aurons plus qu’à calculer la valeur de l’autre inconnue en injectant ce résultat dans notre première équation. 

Exemple :

Soit f une fonction affine définie sur R. 

On sait que les points A(-1 ; 3) et B(2 ; 5) appartiennent à sa représentation graphique. 

Question : Trouver l’expression qui définit la fonction f.

Résolution :

On sait qu’une fonction affine est une fonction définie par une expression du type :

f(x) = ax + b

Si l’on pose la question autrement, cela revient à nous demander de trouver les deux inconnues a et b.

On sait que les points A(-1 ; 3) et B(2 ; 5) appartiennent à la représentation graphique de la fonction f. 

On a alors :

f(-1) = 3 et f(2) = 5.

Les deux équations qui vont nous aider à résoudre cet exercice sont alors :

f(-1) = -a + b = 3

Et

f(2) = 2a + b = 5

Si l’on prend la première équation, on peut la transformer comme ceci :

-a + b = 3 devient b = 3 + a

Maintenant que l’on a obtenu cette équation, nous pouvons intégrer l’expression de b en fonction de a dans notre deuxième équation. 

On a alors :

2a + (3+a) = 5

Maintenant, nous n’avons plus qu’à résoudre !

2a + 3 + a = 5

(Les parenthèses sont inutiles de ce cas car il n’y pas de « – » devant, mais il vaut mieux les mettre pour éviter de les oublier quand le signe « – » est présent.)

3a + 3 = 5

3a = 5 - 3

3a = 2

a = 2/3

Maintenant que nous avons la valeur de a, nous pouvons trouver la valeur de b.

b = 3 + a

Comme a = 2/3, on a :

b = 3 + 2/3 = 9/3 + 2/3 = 11/3

La fonction f est donc définie par f(x) = 2/3 x + 11/3.

Nous pouvons vérifier notre résultat en calculant l’image de -1 et de 2.

f(-1) = -2/3 + 11/3 = 9/3 = 3

f(2) = 2 x 2/3 + 11/3 = 4/3 + 11/3 = 15/3 = 5

Donc nos solutions pour a et b sont les bonnes.

À lire aussi : Top 3 des méthodes pour réussir en maths

2 - Résoudre des systèmes d’équations à trois inconnues et plus avec la méthode du pivot de Gauss

La méthode du pivot de Gauss est une méthode qui nous permet de transformer un système d’équation complexe en un autre système équivalent (ayant les mêmes solutions) qui est triangulaire et donc facile à résoudre. Pour transformer notre système, nous pouvons :

• Échanger deux lignes.
• Multiplier une ligne par un nombre non nul.
• Additionner ou soustraire un multiple d'une ligne à un multiple d’une autre ligne.

Le but est d’obtenir à la fin un système où la dernière équation comporterait une seule inconnue, l’avant-dernière équation comporterait cette même inconnue plus une autre, l’avant-avant dernière comporterait ces deux inconnues plus une autre, etc. … 

Le pivot de Gauss nous permet donc de résoudre un système d’équation par combinaisons linéaires. 

Exemple :

Soit f une fonction polynôme de degré 3 définie sur R. On sait que les points A(-1 ; 1), B(-2 ; -2), C(1 ; -5) et D(2 ; 10) appartiennent à la représentation graphique de f. 

Question : Trouver l’expression qui définit la fonction f.

Résolution :

Une fonction polynôme de degré 3 est définie par une expression du type : 

ax³ + bx² + cx + d

Ainsi, la question revient à nous demander de trouver les valeurs des inconnues a, b, c et d.

On sait que les points A(-1 ; 1), B(-2 ; -2), C(1 ; -5) et D(2 ; 10) appartiennent à la représentation graphique de f.

On peut donc écrire que :

f(-1) = 1, f(-2) = -2, f(1) = -5 et f(2) = 10

On obtient donc le système d’équation suivant :

Nous avons maintenant un système triangulaire grâce au pivot de Gauss

Maintenant, nous allons résoudre ligne par ligne ce système. Dès que nous aurons résolu une ligne, nous intégrerons le résultat dans la ligne du dessus.

f est donc définie par l’expression 2x³ + 2x² - 5x - 4.

À lire aussi : Tout savoir sur les programmes de maths au lycée

Nous espérons que cet article t’aidera à comprendre la méthode de résolution des équations à deux inconnues ou plus ! Si tu penses que tu as malgré tout besoin d’aide pour appliquer ces méthodes, ou pour revoir des notions du programme, tu peux faire appel à nos professeurs certifiés ! 😉🎓