Sommaire
- Qu’est-ce qu’une base ?
- Pourquoi comptons-nous en base 10 ?
- Pourquoi la base 12 serait-elle plus intéressante ?
- Comment convertir les nombres en base 12 ?
- En quel autre base pouvons-nous ou avons-nous compter ?
Les mathématiques sont parfois compliquées… Nous sommes persuadés que tu te demandes parfois qui a eu l’idée d’inventer les mathématiques. Mais t’es-tu déjà demandé si les maths ne pouvaient pas être plus simples ? Il est vrai qu’en changeant la base de notre système, certaines notions auraient peut-être été plus faciles à comprendre. Mais avant tout, nous devons sûrement t’expliquer ce qu’est une base en mathématiques. 🧮
1 - Qu’est-ce qu’une base ?
Il nous est tous arrivé de compter une quantité importante d’objets : des pièces, des billes, des cartes, … Une fois notre contage fini, on peut vouloir se vérifier en comptant une seconde fois. Cependant, lorsque le nombre est trop grand, il est rare de tomber deux fois sur le même résultat. Mais nous avons des petits stratagèmes pour y remédier ! Nous pouvons faire des petits paquets ! Le nombre d’éléments par paquet est en fait la valeur de notre base. Si les paquets sont formés de 10 éléments, alors nous avons une base 10, c’est-à-dire une base décimale. Si les paquets sont formés de 12 éléments, nous avons une base 12, c’est-à-dire un système dozénal. Dans notre système, il nous faut 10 unités pour obtenir une dizaine, 10 dizaines pour obtenir une centaine, et ainsi de suite. Nous avons donc un système décimal. D’ailleurs, pourquoi comptons-nous en base 10 ? 🔟
2 - Pourquoi comptons-nous en base 10 ?
La base dix est très ancienne. Cela semblait naturel pour l’être humain de choisir cette base, en effet, l’être humain a dix doigts sur lesquels il peut matérialiser les opérations mathématiques fondamentales que sont l’addition et la soustraction.
Au IIIème millénaire av. J.-C., les Égyptiens utilisaient déjà un système décimal. On pourra noter que dans ce système, 0 n’existe pas et on consacre un symbole pour chaque puissance entière de 10.
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À la même époque, ce système s’est répandu en Grèce, bien que les Grecques et les Romains utilisaient un système de base 5 (il peut aujourd’hui nous arriver de rencontrer les fameux nombres romains).
D’autres civilisations, dont les Chinois, les Étrusques et les Indiens se sont aussi mis à utiliser un système décimal.
Les premiers systèmes décimaux (notamment celui des Égyptiens) utilisaient des symboles distincts pour les unités, les dizaines et les centaines. Grâce aux Indiens, un nouveau système apparaît. Dorénavant, les symboles représentent les différents chiffres de notre base. C’est la place de chaque chiffre dans le nombre qui nous indique la puissance de 10 à laquelle il est associé. Par exemple, dans le nombre 234, 2 est le chiffre des centaines, 3 est le chiffre des dizaines et 4 est le chiffre des unités.
3 - Pourquoi la base 12 serait-elle plus intéressante ?
La base 12, aussi nommée système dozénal ou duodécimal, a été utilisée par les Celtes. Dans ce système, nous comptons donc en douzaines. Pour compter sur ses doigts avec un système duodécimal, il faut utiliser les phalanges de quatre doigts d’une main et les compter à l’aide du pouce. ✋
Cette base est encore utilisée en Inde, Indochine, Pakistan, Afghanistan, Égypte, Syrie, Turquie, Iran, Irak.
Ce système a quelques avantages par rapport à notre système décimal (base dix). En effet, 12 admet beaucoup plus de diviseur que 10, cela est un réel atout en arithmétique. Les diviseurs (autres que 1 et lui-même) de 12 sont 2, 3, 4, et 6 alors que ceux de 10 sont uniquement 2 et 5. Le nombre douze est le plus petit nombre avec quatre facteurs non triviaux (2, 3, 4, 6), ce qui fait qu'il est plus agréable et facile à utiliser pour des calculs comme les multiplications ou les divisions.
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Un deuxième avantage de cette base douze est qu’elle n’utilise qu’une main pour compter les unités, la deuxième main peut donc servir à compter les douzaines, nous pouvons donc compter jusqu’à 12 douzaines sur nos phalanges, donc jusqu’à 144 rien qu’avec nos mains ! 🤲
4 - Comment convertir les nombres en base 12 ?
Voici une méthode pour passer d'un nombre en base dix à un nombre en base douze.
Soit K le nombre en base 10 à convertir en base 12.
- Grâce à la division euclidienne de K par 12, on va écrire K sous la forme d’une somme d’un multiple de 12 et d’un chiffre entre 0 et 11 (en effet, dans un système duodécimal il existe 12 symboles qui représentent 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, et 11, qui sont les 12 chiffres de ce système, pour faciliter l’écriture de nos nombres dans un système duodécimal, nous poserons 10=D et 11=Z).
- Ensuite, nous vérifions si le facteur de 12 peut lui-même être écrit sous la forme d’un multiple de 12 et d’un chiffre entre 0 et 11, si tel est le cas, nous nous retrouvons avec une somme de 3 termes, un terme comprenant 122, un deuxième comprenant 21 et un dernier qui est un chiffre entre 0 et 11.
- Puis l’on réitère l’opération jusqu’à ce que le facteur devant la plus grande puissance de 12 soit inférieur ou égal à 11.
- Le nombre en base duodécimal est obtenu en gardant uniquement les facteurs devant les puissances de 12.
Voici des exemples pour mieux comprendre le procédé :
- Convertissons le nombre « 1245 » en base 10 dans la base 12 :
Si l’on écrit la division euclidienne de 1245 par 12, on trouve que :
1245 = 103 x 12 + 9
Maintenant nous faisons la division euclidienne de 103 par 12, et on trouve :
103 = 8 x 12 + 7
On obtient donc :
1245 = (8 x 12 + 7) x 12 + 9
1245 = 8 x 12 x 12 + 7 x 12 + 9
1245 = 8 x 122 + 7 x 121 + 9 x 120
Donc 1245 en base 10 s’écrit 879 en base 12.
- Convertissons le nombre « 42187 » en base 10 dans la base 12 :
Si l’on écrit la division euclidienne de 42187 par 12, on trouve que :
42187 = 3515 x 12 + 7
Maintenant nous faisons la division euclidienne de 3515 par 12, et on trouve :
3515 = 292 x 12 + 11
On obtient donc :
42187 = (292 x 12 + 11) x 12 + 7
42187 = 292 x 12 x 12 + 11 x 12+ 7
Maintenant nous faisons la division euclidienne de 292 par 12, et on trouve :
292 = 24 x 12 + 4
On obtient donc :
42187 = (24 x 12 + 4) x 12 x 12 + 11 x 12+ 7
42187 = 24 x 12 x 12 x 12 + 4 x 12 x 12 + 11 x 12+ 7
Maintenant nous faisons la division euclidienne de 24 par 12, et on trouve :
24 = 2 x 12
On obtient donc :
42187 = 2 x 12 x 12 x 12 x 12 + 4 x 12 x 12 + 11 x 12+ 7
42187 = 2 x 124 + 0 x 123 + 4 x 122 + 11 x 121 + 7 x 120
Donc 42187 en base 10 s’écrit 204Z7 en base 12 (le Z est le symbole que l’on a posé pour symboliser le chiffre 11).
Pour convertir un nombre d’une base N à la base 10, c’est plus simple, il suffit de faire la somme des produits de chaque chiffre par N à la puissance du rang (le premier rang est celui des unités, et ce rang vaut 0).
Par exemple, si je souhaite convertir le nombre 2145 (base 12) en base 10, je dois calculer :
2 x 123 + 1 x 122 + 4 x 121 + 5 x 120 = 3653 (base 10)
5 - En quel autre base pouvons-nous ou avons-nous compter ?
Les systèmes de numérotation issus des mains sont multiples, voici quelques-uns de ces systèmes.
- Compter avec les phalanges des deux mains : le système sexagésimal
Les Babyloniens comptaient en base 60 (système sexagésimal). Il s’agit d’une combinaison entre les 5 doigts de la main gauche et les phalanges des quatre doigts de la main droite, le pouce servant à compter les phalanges. Le principe de comptage est à peu près le même que celui décrit pour la base 12. À chaque fois qu’on a compté une douzaine avec nos phalanges, on lève un doigt de la main gauche. Avec cette méthode, nous pouvons compter jusqu’à 5 douzaines sur nos doigts, donc 60. Cela ne te rappelle rien ? Nous utilisons tous les jours le système sexagésimal en lisant l’heure ! Une horloge est découpée en 12 heures, et chaque douzième est découpé en 5 pour obtenir nos 60 minutes. 🕢
- Compter avec une main : le système quinaire
L’origine de cette base est le comptage sur les cinq doigts d’une main. La numération romaine, par exemple, utilise une sous-base quinaire (V, L, D) superposée à une base décimale (X, C, M). Le système de numération maya utilise une sous-base quinaire, superposée à une base vicésimale.
- Compter avec les deux mains et les deux pieds : le système vigésimal.
On utilise l’ensemble des doigts des mains et des pieds. Comme mentionné précédemment, les Mayas utilisaient un système en base 20. Le basque (ainsi que les langues celtiques) se fonde aussi sur la base 20. Il reste d’ailleurs des traces de ces nombres dans notre langue avec le nombre « quatre-vingts ».
Il existe encore d’autres systèmes qui utilisent d’autres bases, notamment le système binaire, utilisé en informatique, qui est donc en base 2.
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Nous espérons que tu auras appris quelque chose dans cet article ! Si tu souhaites en apprendre davantage sur les différents systèmes, par exemple sur le système binaire, ou si tu aimerais simplement de l’aide en mathématiques, tu peux faire appel à nos professeurs certifiés ! 😉🎓
